Contoh soal fungsi kuadrat kelas 3 smp

Memahami dan Menaklukkan Fungsi Kuadrat: Panduan Lengkap dengan Contoh Soal untuk Kelas 3 SMP

Matematika seringkali dianggap sebagai bahasa alam semesta, dan di dalamnya, fungsi kuadrat adalah salah satu konsep fundamental yang memiliki aplikasi luas dalam berbagai bidang, mulai dari fisika, ekonomi, hingga arsitektur. Bagi siswa kelas 3 SMP, memahami fungsi kuadrat adalah langkah penting dalam membangun fondasi matematika yang kuat. Artikel ini akan membahas secara mendalam tentang fungsi kuadrat, komponen-komponen pentingnya, serta menyajikan berbagai contoh soal beserta pembahasannya yang detail untuk membantu Anda menguasai materi ini.

Apa Itu Fungsi Kuadrat?

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat dua, yang berarti pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua. Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:

f(x) = ax² + bx + c

atau sering juga ditulis sebagai y = ax² + bx + c

Dimana:

• a, b, dan c adalah konstanta (bilangan real), dengan syarat utama a ≠ 0. Jika a = 0, maka fungsi tersebut bukan lagi fungsi kuadrat, melainkan fungsi linear.
• x adalah variabel bebas.
• f(x) atau y adalah variabel terikat, yang nilainya bergantung pada nilai x.

Grafik dari fungsi kuadrat selalu berbentuk kurva parabola. Arah bukaan parabola ditentukan oleh nilai ‘a’:

• Jika a > 0 (positif), parabola terbuka ke atas, memiliki titik puncak minimum.
• Jika a < 0 (negatif), parabola terbuka ke bawah, memiliki titik puncak maksimum.

Komponen Penting pada Grafik Fungsi Kuadrat (Parabola)

Untuk dapat menggambar dan menganalisis fungsi kuadrat, kita perlu memahami komponen-komponen kunci pada parabolanya:

1. Titik Potong Sumbu-x (Akar-akar Fungsi):
   Ini adalah titik di mana grafik memotong sumbu x. Pada titik-titik ini, nilai y (atau f(x)) adalah 0. Untuk menemukannya, kita set f(x) = 0, sehingga menjadi persamaan kuadrat: ax² + bx + c = 0.
   Penyelesaian persamaan ini bisa menggunakan:

   • Pemfaktoran: Jika memungkinkan.
   • Rumus ABC (Rumus Kuadrat): x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a
   • Melengkapi Kuadrat Sempurna

   Jumlah titik potong sumbu-x ditentukan oleh nilai Diskriminan (D = b² – 4ac):

   • Jika D > 0, ada dua titik potong sumbu-x yang berbeda.
   • Jika D = 0, ada satu titik potong sumbu-x (parabola menyinggung sumbu-x).
   • Jika D < 0, tidak ada titik potong sumbu-x (parabola tidak menyentuh sumbu-x).

2. Titik Potong Sumbu-y:
   Ini adalah titik di mana grafik memotong sumbu y. Pada titik ini, nilai x adalah 0. Untuk menemukannya, kita set x = 0 dalam fungsi, sehingga f(0) = a(0)² + b(0) + c = c. Jadi, titik potong sumbu-y selalu berada di (0, c).

3. Sumbu Simetri:
   Ini adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang simetris. Rumus untuk sumbu simetri adalah:
   x = -b / 2a

4. Titik Puncak (Vertex):
   Titik puncak adalah titik tertinggi (jika a < 0) atau titik terendah (jika a > 0) pada parabola. Koordinat titik puncak adalah (x_p, y_p), di mana:

   • x_p = -b / 2a (sama dengan sumbu simetri)
   • y_p = f(x_p) (substitusikan nilai x_p ke dalam fungsi)
   • Atau bisa juga menggunakan rumus y_p = D / -4a

Contoh Soal dan Pembahasan

Mari kita aplikasikan konsep-konsep di atas melalui berbagai contoh soal.

Contoh Soal 1: Menentukan Titik Potong, Sumbu Simetri, dan Titik Puncak

Diberikan fungsi kuadrat: f(x) = x² – 4x – 5

Tentukan:
a. Titik potong sumbu-x
b. Titik potong sumbu-y
c. Persamaan sumbu simetri
d. Koordinat titik puncak
e. Sketsa grafik (secara umum)

Pembahasan:

Pertama, identifikasi nilai a, b, dan c dari fungsi f(x) = x² – 4x – 5.
Didapat: a = 1, b = -4, c = -5.

a. Titik Potong Sumbu-x (y = 0):
x² – 4x – 5 = 0
(x – 5)(x + 1) = 0
x – 5 = 0 atau x + 1 = 0
x = 5 atau x = -1
Jadi, titik potong sumbu-x adalah (5, 0) dan (-1, 0).

b. Titik Potong Sumbu-y (x = 0):
f(0) = (0)² – 4(0) – 5
f(0) = -5
Jadi, titik potong sumbu-y adalah (0, -5).

c. Persamaan Sumbu Simetri:
x = -b / 2a
x = -(-4) / (2 * 1)
x = 4 / 2
x = 2
Jadi, persamaan sumbu simetri adalah x = 2.

d. Koordinat Titik Puncak (x_p, y_p):
Kita sudah tahu x_p = 2 (dari sumbu simetri). Sekarang cari y_p dengan mensubstitusikan x_p ke fungsi:
y_p = f(2) = (2)² – 4(2) – 5
y_p = 4 – 8 – 5
y_p = -9
Jadi, koordinat titik puncak adalah (2, -9).

e. Sketsa Grafik:
Dengan titik-titik yang ditemukan:

• Potong sumbu-x: (-1,0) dan (5,0)
• Potong sumbu-y: (0,-5)
• Titik puncak: (2,-9)
  Karena a = 1 (positif), parabola terbuka ke atas. Anda bisa menghubungkan titik-titik ini dengan kurva yang mulus membentuk parabola.

Contoh Soal 2: Menentukan Nilai Koefisien dari Fungsi Kuadrat yang Diketahui Titik yang Dilalui

Sebuah fungsi kuadrat memiliki bentuk f(x) = x² + bx + c. Jika fungsi tersebut melalui titik (1, 0) dan (0, -2), tentukan nilai b dan c.

Pembahasan:

Substitusikan setiap titik ke dalam persamaan f(x) = x² + bx + c.

1. Melalui titik (1, 0): (Ini berarti x = 1, y = 0)
   0 = (1)² + b(1) + c
   0 = 1 + b + c
   b + c = -1 (Persamaan 1)

2. Melalui titik (0, -2): (Ini berarti x = 0, y = -2)
   -2 = (0)² + b(0) + c
   -2 = 0 + 0 + c
   c = -2

Sekarang kita sudah menemukan nilai c. Substitusikan nilai c = -2 ke Persamaan 1:
b + (-2) = -1
b – 2 = -1
b = -1 + 2
b = 1

Jadi, nilai b = 1 dan c = -2. Fungsi kuadratnya adalah f(x) = x² + x – 2.

Contoh Soal 3: Menyusun Persamaan Fungsi Kuadrat Jika Diketahui Titik Puncak dan Satu Titik Lain

Tentukan persamaan fungsi kuadrat yang memiliki titik puncak (2, 1) dan melalui titik (0, 5).

Pembahasan:

Jika diketahui titik puncak (x_p, y_p), kita bisa menggunakan bentuk umum fungsi kuadrat:
y = a(x – x_p)² + y_p

1. Substitusikan titik puncak (2, 1) ke dalam rumus:
   y = a(x – 2)² + 1

2. Gunakan titik lain yang dilalui (0, 5) untuk mencari nilai ‘a’:
   Substitusikan x = 0 dan y = 5 ke persamaan yang sudah ada:
   5 = a(0 – 2)² + 1
   5 = a(-2)² + 1
   5 = 4a + 1
   5 – 1 = 4a
   4 = 4a
   a = 1

3. Substitusikan nilai ‘a’ kembali ke persamaan dengan titik puncak:
   y = 1(x – 2)² + 1
   y = (x² – 4x + 4) + 1
   y = x² – 4x + 5

Jadi, persamaan fungsi kuadratnya adalah f(x) = x² – 4x + 5.

Contoh Soal 4: Aplikasi Fungsi Kuadrat dalam Masalah Nyata (Maksimum/Minimum)

Sebuah bola dilempar vertikal ke atas. Ketinggian bola (dalam meter) setelah t detik dinyatakan oleh fungsi h(t) = 20t – 5t².
a. Tentukan tinggi maksimum yang dicapai bola.
b. Berapa waktu yang dibutuhkan bola untuk mencapai tinggi maksimum?
c. Berapa waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh kembali ke tanah?

Pembahasan:

Fungsi ketinggian h(t) = 20t – 5t² adalah fungsi kuadrat dengan variabel t.
Identifikasi a, b, c: a = -5, b = 20, c = 0.
Karena a = -5 (negatif), parabola terbuka ke bawah, yang berarti ada titik puncak maksimum (tinggi maksimum).

a. Waktu untuk mencapai tinggi maksimum (t_p):
Ini adalah koordinat x dari titik puncak (sumbu simetri).
t_p = -b / 2a
t_p = -20 / (2 * -5)
t_p = -20 / -10
t_p = 2 detik
Jadi, bola membutuhkan waktu 2 detik untuk mencapai tinggi maksimum.

b. Tinggi maksimum yang dicapai bola (h_p):
Substitusikan t_p = 2 detik ke dalam fungsi h(t):
h_p = h(2) = 20(2) – 5(2)²
h_p = 40 – 5(4)
h_p = 40 – 20
h_p = 20 meter
Jadi, tinggi maksimum yang dicapai bola adalah 20 meter.

c. Waktu yang dibutuhkan bola untuk jatuh kembali ke tanah:
Bola jatuh ke tanah berarti ketinggiannya h(t) = 0.
20t – 5t² = 0
Faktorkan 5t:
5t(4 – t) = 0
5t = 0 atau 4 – t = 0
t = 0 atau t = 4
Nilai t = 0 menunjukkan waktu saat bola dilempar (ketinggian awal).
Nilai t = 4 menunjukkan waktu saat bola kembali ke tanah.
Jadi, bola membutuhkan waktu 4 detik untuk jatuh kembali ke tanah.

Contoh Soal 5: Menentukan Domain dan Range (Daerah Asal dan Daerah Hasil) untuk Fungsi Kuadrat Terbatas

Tentukan daerah hasil (range) dari fungsi f(x) = x² – 2x – 3 untuk daerah asal (domain) -2 ≤ x ≤ 4.

Pembahasan:

Untuk menentukan daerah hasil pada domain terbatas, kita perlu mempertimbangkan:

1. Nilai fungsi pada batas-batas domain.
2. Nilai fungsi pada titik puncak, jika titik puncak berada dalam domain.

Identifikasi a, b, c: a = 1, b = -2, c = -3.
Karena a = 1 (positif), parabola terbuka ke atas, sehingga titik puncaknya adalah minimum.

1. Cari koordinat titik puncak:
   x_p = -b / 2a = -(-2) / (2 * 1) = 2 / 2 = 1
   Karena x_p = 1 berada dalam domain -2 ≤ x ≤ 4, maka nilai y_p adalah nilai minimum dari fungsi pada domain ini.
   y_p = f(1) = (1)² – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = -4
   Jadi, titik puncaknya adalah (1, -4).

2. Hitung nilai fungsi pada batas-batas domain:

   • Untuk x = -2:
     f(-2) = (-2)² – 2(-2) – 3 = 4 + 4 – 3 = 5
   • Untuk x = 4:
     f(4) = (4)² – 2(4) – 3 = 16 – 8 – 3 = 5

3. Tentukan daerah hasil:
   Nilai minimum dari fungsi pada domain ini adalah y_p = -4.
   Nilai maksimum dari fungsi pada domain ini adalah nilai tertinggi dari f(-2) atau f(4), yaitu 5.
   Jadi, daerah hasil (range) dari fungsi tersebut adalah y .

Tips Belajar Fungsi Kuadrat

1. Pahami Konsep Dasar: Jangan hanya menghafal rumus, tapi pahami mengapa rumus tersebut digunakan dan apa arti setiap komponennya (misalnya, mengapa sumbu simetri ada di -b/2a).
2. Hafalkan Rumus Penting: Rumus sumbu simetri, titik puncak, dan rumus ABC adalah kunci. Namun, pastikan Anda tahu kapan dan bagaimana menggunakannya.
3. Latihan Berulang: Matematika adalah tentang latihan. Semakin banyak Anda berlatih dengan berbagai jenis soal, semakin mahir Anda.
4. Gambar Grafik: Menggambar sketsa grafik akan sangat membantu visualisasi dan pemahaman Anda tentang bagaimana titik-titik dan garis saling berhubungan.
5. Jangan Takut Salah: Kesalahan adalah bagian dari proses belajar. Analisis kesalahan Anda untuk memahami di mana letak kekeliruan.
6. Manfaatkan Sumber Belajar Lain: Selain buku teks, gunakan video tutorial online, aplikasi pembelajaran, atau diskusikan dengan teman dan guru.

Kesimpulan

Fungsi kuadrat adalah salah satu pilar penting dalam matematika SMP yang memiliki relevansi tinggi dalam kehidupan sehari-hari dan berbagai disiplin ilmu. Dengan memahami bentuk umum, komponen-komponen grafiknya, serta menguasai berbagai metode penyelesaian soal, Anda akan memiliki bekal yang kuat untuk menaklukkan bab ini. Ingatlah bahwa kunci keberhasilan adalah pemahaman konsep yang mendalam dan latihan yang konsisten. Teruslah berlatih, dan Anda akan melihat bahwa fungsi kuadrat tidak sesulit yang dibayangkan!